Vaikka Suomi on yhdistysten luvattu maa, se ei ole yhdistysten hallituksille aivan samanlainen Eldorado. Pienissä yhdistyksissä on usein vaikea saada kasaan hallitusta, ja vielä vaikeampaa saada hallituksen kokouksiin paikalle niin paljon väkeä, että ne olisivat päätösvaltaisia.
Tätä asiaa, kuten kaikkea muutakin, voi lähestyä matemaattisesti. Oletetaan, että normaalin hallintokäytännön mukaisesti hallituksesta on oltava vähintään puolet paikalla. Mitä pitäisi tehdä, että suurempi osa kokouksista olisi päätösvaltaisia? (Toisin kuin eräät tämän blogin “XX:n matematikkaa”-kirjoitukset, nämä laskut on tehty täysin oikein).
Asiasta voisi tehdä hyvinkin monimutkaisen Monte-Carlo-simulaation, mutta pikavastauksia saa yllättävänkin helposti karkea binomijakaumaa käyttämällä. Johtopäätökset ovat melko yksinkertaisia:
- Jos osallistumisaktiivisuus pysyy vakiona, suuri hallitus on parempi kuin pieni.
- Jos jäsenten osallistumisaktiivisuus laskee lähelle 50%:a, hallitus alkaa halvaantua (alle puolet kokouksista on päätösvaltaisia).
- Jos aktiivisuus saadaan nousemaan tästä edes hiukan, tilanne paranee erittäin nopeasti. Jo hieman yli 60% aktiivisuus tarkoittaa, että hallitus toimii riittävän hyvin (se on päätösvaltainen ainakin 80% ajasta).
- Hallituksen kannattaa siis panostaa nimenomaan siihen, että nimenomaan heikoimmin aktiiviset jäsenet osallistuisivat edes hiukan useammin.
Laskentamalli
Oletetaan, että jokainen jäsen pystyy osallistumaan kokoukseen todennäköisyydellä p (osallistumisaktiivisuus). Vapaaehtoisjärjestöissä p voi olla hyvinkin matala, luokkaa 50% tai allekin. Olkoon hallituksen koko n, ja hallitus päätösvaltainen vain, jos vähintään puolet jäsenistä on paikalla. Halutaan tietää, miten hallituksen koko ja aktiivisuus vaikuttavat päätösvaltaisuuteen.
Nopeasti huomaa, että hallituksen koon kannattaa olla parillinen luku. Verrataan tapauksia n=3 ja n=4. Molemmissa tapauksissa tarvitaan vähintään kaksi jäsentä. Oletetaan, että A on jo paikalla. Hänen lisäkseen tarvitaan enää yksi jäsen lisää. Jos jäseniä on kolme, on kolme skenaariota joissa ehto täyttyy: paikalle tulee B, C, tai molemmat (B+C). Neljän tapauksessa taas vaihtoehtoja on paljon enemmän: B,C,D, tai B+C, B+D, C+D, B+C+D.
Yleisessä tapauksessa, todennäköisyys että i jäsentä n:stä saapuu paikalle on binomifunktio
Kokous on päätösvaltainen silloin, kun X on vähintään n/2. Tällöin täytyy laskea binomifunktion kertymäfunktio, jolle ei ole yksinkertaista kaavaa. Se löytyy kuitenkin matematiikkaohjelmista. Esimerkiksi R-kielellä kertymäfunktio on muotoa P=pbinom(n/2,n,p). P on todennäköisyys, että kokous on päätösvaltainen.
Kuvassa 1 on laskettu P:n arvoja eri hallituksen koolle ja osallistumisaktiivisuuksille (tietokonekoodi kirjoituksen lopussa). Todennäköisyydelle p on annettu arvot (0.1, 0.2,… , 0.9). Punainen vaakasuora viiva on 50% kohdalla: toisin sanoen, se kertoo millä n:n ja p:n yhdistelmillä vähintään puolet kokouksista on päätösvaltaisia.
Kuva 1. [Edit: Nimen tulisi olla “Paatosvaltaisuus, p=0.1-0.9”]
Kuvasta näkee heti, että suurempi hallitus on parempi, kuinhan vain osallistumisaktiivisuus on yli 50%. 60% osallistumisaktiivisuudella neljän hengen hallitus on päätösvaltainen alle puolet ajasta, mutta 14 hengen hallitus jo melkein 70%.
Jos osallistumisaktiivisuus on 50%, kokoukset ovat pääsääntöisesti päätösvallattomia. 50% päätösvallattomuutta voikin alkaa pitää halvaantuneen yhdistyksen merkkinä: jos puolet ajasta kokoonnutaan ilman että voidaan virallisesti päättää mitään, se syö motivaatiota kaikilta.
Noin 80% päätösvaltaisuus (violetti viiva) lienee hyvä kuvaaja sille, milloin hallitus toimii hyvin. Jos kokouksia on kuukausittain, se tarkoittaa että vuodessa on 1-2 päätösvallatonta kokousta. Se on harmittavaa, mutta kestettävissä. Kahdeksan hengen hallitus pääsee tähän, jos osallistumisaktiivisuus on yli 70%.
Sininen viiva taas on 95% kohdalla: se kertoo, milloin hallitus käytännössä toimii kuin kone. Siihen pääseminen edellyttäisi periaatteessa yli 80% aktiivisuutta kaikilta jäseniltä.
Jos kuvaajat piirretään tiheämmin ja laajennetaan hallituksen koko sadaksi (puolieduskunta, kuva 2), vaikutus nähdään selvemmin. 50% osallistumisaktiivisuudella päätösvaltaisuus liikkuu hitaasti kohti 50%:a, mutta ei saavuta sitä. Jos aktiivisuus on hiukankaan yli 50%, päätösvaltaisuus kasvaa nopeasti. Jos se taas laskee hiukankin alle 50%:n, päätösvaltaisuus romahtaa.
Kuva 2
Käytännön johtopäätösten kannalta kannattaa vielä tarkistella pienten hallitusten tapausta tarkemmin, 5% aktiivisuuserojen tarkkuudella (kuva 3).
Kuva 3
Halvaantumistilassa (alle 50% päätösvaltaisuus) ollaan, jos 12 hengen hallituksessa aktiivisuus on alle 55%. Toisaalta hyvään 80% tilaan päästään jo sillä, että aktiivisuus nouse hieman yli 65%:iin. Onkin ilahduttavaa, että juuri tässä välissä aktiivisuuden nostaminen vaikuttaa kaikkein nopeimmin. Pienikin parannus näkyy nopeasti.
Näissä laskelmissa on oletettu, että kaikilla jäsenillä on sama osallistumisaktiivisuus, vaikka käytännössä ihmisten välillä on suuriakin eroja. Lisäksi suureen hallitukseen ajautuu helpommin jäseniä, jotka ovat mukana lähinnä velvollisuudentunnosta ja ryhmäpaineesta. Todennäköiseti aktiivisuus kasvaa pienemmissä hallituksissa, ja erot siis pienenevät tästä.
Käytännössä arviot ovat siis pessimistisiä. Jos 12 hengen hallituksessa edes osa jäsenistä on aktiivisempia kuin 55%, päätösvaltaisuus voi kasvaa nopeastikin. Todellisuudessa kestää hyvin muutaman flegmaatikon, jos siinä on tarpeeksi monta yliaktiivia.Tämän tarkempi mallinnus täytyy kuitenkin jättää harjoitustehtäväksi.
Tämä yksinkertainenkin laskelma antaa joka tapauksessa yllättävän konkreettisia tuloksia. Jos päätösvaltaisuutta halutaan nostaa, kannattaa pyrkiä nostamaan nimenomaan vähiten aktiivisten jäsenten osallistumista. Pienikin parannus heidän aktiivisuudessaan vaikuttaa nopeasti. Jo alimman aktiivisuustason nostaminen kymmenellä prosenttiyksiköllä voi tehdä eron halvaantuneen ja hyvin toimivan yhdistyksen välillä.
Muita erikoisia matematiikan sovelluksia: WeirdMath
Mielenkiintoinen sivujuonne
Jos menetelmää sovelletaan myös yhden hengen hallituksiin, 50% aktiiviisuudella päädytään siihen, että edes tämä diktaattori ei ole päätösvaltainen kuin puolet ajasta. Tähön voi etsiä erilaisia selitysmalleja: joko diktaattori tyypillisesti on aktiivisempi kuin 50%; yhden hengen hallitus ei ole parillinen; tyypillisellä diktaattorilla on kirkkaita hetkiä vain osan ajasta ja muu elämä menee sumussa; tai sitten matemaattista mallia ei ole järkeä laajentaa yhden hengen hallituksiin.
Käytetty koodi (R-kielellä)
- KokoMax<-14
- koko<-seq(2,KokoMax,2)
- minimi<-seq(1,KokoMax/2)
- todnak<-seq(0.05,0.95,0.05)
- paatosvalta<-matrix(data=NA,nrow=length(koko),ncol=length(todnak))
- for (p in 1:length(todnak)){
- for (j in 1:length(koko)){
- paatosvalta[j,p]<-pbinom(minimi[j],koko[j],todnak[p],lower.tail=FALSE)
- }
- plot(koko,paatosvalta[,p],type=”l”,xlim=c(1,KokoMax),ylim=c(0,1))
- par(new=TRUE)
- }
- title(“Paatosvaltaisuus, p=0.05-0.95”)
- lines(c(0,KokoMax),c(0.5,0.5),col=”red”)
- lines(c(0,KokoMax),c(0.8,0.8),col=”magenta”)
- lines(c(0,KokoMax),c(0.95,0.95),col=”blue”)